Wir betrachten im folgenden Stellenwertsysteme. Nicht-stellenwertige Zahlensysteme wie römische Zahlen lassen wir aus.
Definition
Ein Stellenwertsystem ist ein Zahlensystem, bei dem der Wert einer Ziffer von ihrer Position innerhalb der Zahl abhängt.
¶ Beispielsysteme
Es gibt unendlich viele Zahlensysteme. Hier ein paar Beispiele.
| Basis | Ziffern | Stellenwerte Potenzschreibweise | Stellenwerte |
|---|---|---|---|
| 10 | 0,1,...,9 | ..., 103, 102, 101, 100 | ..., 1000, 100, 10, 1 |
| 2 | 0,1 | ..., 23, 22, 21, 20 | ..., 8, 4, 2, 1 |
| 3 | 0,1,2 | ... 33, 32, 31, 30 | ..., 27, 9, 3, 1 |
| 8 | 0,1,...,7 | ..., 103, 102, 101, 100 | ..., 512, 64, 8, 1 |
| 16 | 0-9,A,B,C,D,E,F | ..., 163, 162, 161, 160 | ..., 4096, 256, 16, 1 |
¶ beliebiges Zahlensystem -> Dezimalsystem
Vorgehen:
- Bestimme die Stellenwerte deines Zahlensystems (z.Bsp. Binär 1, 2, 4, 8, usw.)
- Multipliziere jede Ziffer der Zahl mit ihrem Stellenwert
- Bilde die Summe
𝑍=𝑎𝑛⋅𝑏𝑛 + 𝑎𝑛−1⋅𝑏𝑛−1 + … + 𝑎1⋅𝑏1 + 𝑎0⋅𝑏0
Dabei gilt:
- b ... Basis des Zahlsystems
- n ... Anzahl der Stellen -1
- 𝑎𝑛 ... Ziffer des Zahlsystems
Aufgabe
Wandle folgende Zahlen in das Dezimalsystem um.
- (1101)2 = (13)10
- (1111)2 = (15)10
- (10000000)2 = (128)10
- (11111111)2 = (255)10
- (11110111)2 = (247)10
- (2010)3 = (30)10
- (40)5 = (20)10
- (F)16 = (15)10
- (C2)16 = (194)10
¶ Für interessierte: Umwandlung in Python
def to_dez(zahl: int, basis: int) -> int:
"""
Wandelt eine Zahl aus einem beliebigen Zahlensystem
in eine Dezimalzahl (Basis 10) um.
Beispiel:
to_dez(1011, 2) -> 11
Args:
zahl: Die Zahl im Ausgangszahlensystem.
basis: Die Basis des Ausgangszahlensystems.
Returns:
Die Zahl als Dezimalzahl.
"""
# Variable für die Aufsummierung der Werte
result = 0
# Umwandlung der zahl als string, um sie stellenweise verarbeiten zu können
ziffern = str(zahl)
# Die erste Ziffer hat die höchste Position.
position = len(ziffern) - 1
for ziffer in ziffern:
# Ziffer mit dem entsprechenden Stellenwert multiplizieren. (** ist 'hoch')
result = result + int(ziffer) * basis ** position
position = position - 1
return result
# Testaufrufe
print(to_dez(1,2))
print(to_dez(2,2))
print(to_dez(3,2))
print(to_dez(4,2))
print(to_dez(5,2))
print(to_dez(1101,2))
print(to_dez(123497,10))
¶ Dezimalsystem -> belibiges Zahlensystem
Vorgehen:
- teile die Zahl durch die Basis des Zielsystems, notierte ganzzahliges Ergebnis und Rest
- Wiederhole Schritt 1. mit dem Zwischenergebnis, bis Zwischenergebnis = 0
- Lies die Reste von unten nach oben ab.
Beispiel:
(187)10 = (10111011)2
(187)10 = (BB)16
Aufgabe
Wandle folgende Dezimalzahlen in das gegebene Zahlensystem um.
- (100)10 = (...)2
- (161)10 = (...)2
- (65)10 = (...)16
- (17)10 = (...)3
¶ Für interessierte: Umwandlung in Python
def dez_to(zahl: int, basis: int) -> int:
reste = []
zwischenergebnis = zahl
while zwischenergebnis != 0:
rest = zwischenergebnis % basis
zwischenergebnis = zwischenergebnis // basis
reste.append(rest)
ergebnis = ""
reste.reverse()
for rest in reste:
ergebnis = ergebnis + str(rest)
return int(ergebnis)
print(dez_to(10,2))
print(dez_to(64,2))
print(dez_to(255,2))
¶ Exkurs Farben
Farben können im RGB-Farbmodell angegeben werden.
- R = Red
- G = Green
- B = Blue
In der Regel wir ein Byte für jede Grundfarbe verwendet. Damit stehen je Grundfarbe 256 (28) Abstufungen zur Verfügung. Insgesamt lassen sich 23*8 = 224 = 16.777.216 Farben erzeugen.
Die Farben werden für die bessere Lesbarkeit und kürzere Darstellung häufig Hexadezimal angegeben. Probiert es einfach mal aus: https://binarydecimal.com/tools/color-converter